Informatique


Les bases de numération

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Introduction

Une base de numération représente simplement le nombre de chiffres dont on dispose pour représenter des nombres.

Pour la base 10 on dispose de 10 chiffres, pour la base 2 de 2 chiffres, etc.
Il existe 4 bases de numération utilisée en informatique: la base 10, la base 2, la base 16 et la base 8.

Afin de savoir dans quelle base un nombre est représenté on placera en indice la base dans laquelle il est représenté: (6645)10, (1011)2, (1100)16, (A1)16, etc.


Le système décimal (base 10)

Système de numération le plus couramment utilisé, il est composé de 10 chiffres.

Chiffres de la base: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Exemple : 3345 en base 10:
(3345)10 , nous constatons que le chiffre 3 se répète deux fois dans ce nombre, le premier représente 300 et le second 3000, celui-ci a donc un poids différent en fonction de sa position dans le nombre.

Chiffre 3 3 4 5
Position 3 2 1 0
Reconstitution 3 * 103 3 * 102 4 * 101 5 * 100
  3000 + 300 + 40 + 5 = (3.345)10


Le système binaire (base 2)

Système de numération couramment utilisé en informatique, il est composé de 2 chiffres.

Chiffres de la base: 0 1

Exemple : 11001 en base 2: (11001)2

Chiffre 1 1 0 0 1
Position 4 3 2 1 0
Reconstitution 1 * 24 1 * 23 0 * 22 0 * 21 1 * 20
  16 + 8 + 0 + 0 + 1 = (25)10


Le système hexadécimal (base 16)

Système de numération le plus couramment utilisé en informatique, il est composé de 16 chiffres.

Chiffres de la base: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Exemple : B7F en base 16:
(B7F)16

Chiffre B 7 F
Position 2 1 0
Reconstitution 11 * 162 7 * 161 15 * 160
  2816 + 112 + 15 = (2943)10


Représentations possibles en fonction du nombre de bits

Le bit a deux états possibles, 0 ou 1.
Un bit peut donc représenter 2 choses différentes, ce n'est pas beaucoup...
Dès lors on va travailler sur des configurations de plusieurs bits.


Tableaux des représentations possibles de n bits

Combien de représentations possibles de 1 bit? 21 = 2

b
0
1

Combien de représentations possibles de 2 bits? 22 = 4

b1 b2
0 0
0 1
1 0
1 1

Combien de représentations possibles de 3 bits? 23 = 8

b1 b2 b3
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1

Combien de représentations possibles de 4 bits? 24 = 16

Chiffre H b1 b2 b3 b4
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
A 1 0 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 0
D 1 1 0 1
E 1 1 1 0
F 1 1 1 1


Le truc de la mort qui tue pour trouver toutes les représentations possibles

Par exemple, pour une représentation sur 4 bits, on commence à gauche et de haut en bas:

  1. On calcule d'abord le nombre de configurations possibles: 24 = 16
  2. Pour le bit le plus à gauche on écrit 8 fois 0 et 8 fois 1
  3. Pour le bit suivant, 4 fois 0 et 4 fois 1, et ensuite 4 fois 0 et 4 fois 1
  4. Pour le bit suivant on fait 4 fois: 2 fois 0 et 2 fois 1
  5. Pour le dernier bit on alterne 1 et 0

Combien de représentations possibles de 8 bits? 28 = 256

Combien de représentations possibles de 16 bits? 216 = 65.536

Combien de représentations possibles de 24 bits? 224 = 16.777.216

Combien de représentations possibles de 32 bits? 232 = 4.294.967.296


Représentation hexadécimale

Il suffit de convertir en b10 chaque séquence de 4 bits pour savoir le nombre hexadécimal correspondant.

Exemple:
(1100)2 : 1*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 = (12)10 = (C)16

Compte tenu que 4 chiffres binaires représentent exactement 1 chiffre hexadécimal on peut représenter 1 byte selon 2 chiffres hexadécimaux.

Exemple: une configuration de 24 bits (une couleur jpg par exemple)

Binaire: 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1

Hexadécimal:

A

9

F

A

A

5

Décimal:

169

250

165
 
Rouge

Vert

Bleu
   

Le système octal (base 8)

Système de numération peu utilisé, il est composé de 8 chiffres.

Chiffres de la base: 0 1 2 3 4 5 6 7

Exemple : 345 en base 8:
(345)8

Chiffre 3 4 5
Position 2 1 0
Reconstitution 3 * 82 4 * 81 5 * 80
  192 + 32 + 5 = (229)8