Introduction
Une base de numération représente simplement le nombre de chiffres dont on dispose pour représenter des nombres.
Pour la base 10 on dispose de 10 chiffres, pour la base 2 de 2 chiffres, etc.
Il existe 4 bases de numération utilisée en informatique: la base 10, la base 2, la base 16 et la base 8.
Afin de savoir dans quelle base un nombre est représenté on placera en indice la base dans laquelle il est représenté: (6645)10, (1011)2, (1100)16, (A1)16, etc.
Un système de numération de position se caractérisent par le poids différent
de chaque chiffre dans un nombre.
Le système décimal (base 10)
Système de numération le plus couramment utilisé, il est composé de 10 chiffres.
Chiffres de la base: |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Exemple : 3345 en base 10:
(3345)10 , nous constatons que le chiffre 3 se répète deux fois dans ce nombre, le premier représente 300 et le second 3000,
celui-ci a donc un poids différent en fonction de sa position dans le nombre.
Chiffre |
3 |
3 |
4 |
5 |
Position |
3 |
2 |
1 |
0 |
Reconstitution |
3 * 103 |
3 * 102 |
4 * 101 |
5 * 100 |
|
3000 + 300 + 40 + 5 = (3.345)10 |
Le système binaire (base 2)
Système de numération couramment utilisé en informatique, il est composé de 2 chiffres.
Exemple : 11001 en base 2:
(11001)2
Chiffre |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Position |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
Reconstitution |
1 * 24 |
1 * 23 |
0 * 22 |
0 * 21 |
1 * 20 |
|
16 + 8 + 0 + 0 + 1 = (25)10 |
Le système hexadécimal (base 16)
Système de numération le plus couramment utilisé en informatique, il est composé de 16 chiffres.
Chiffres de la base: |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
Exemple : B7F en base 16:
(B7F)16
Chiffre |
B |
7 |
F |
Position |
2 |
1 |
0 |
Reconstitution |
11 * 162 |
7 * 161 |
15 * 160 |
|
2816 + 112 + 15 = (2943)10 |
Représentations possibles en fonction du nombre de bits
Le bit a deux états possibles, 0 ou 1.
Un bit peut donc représenter 2 choses différentes, ce n'est pas beaucoup...
Dès lors on va travailler sur des configurations de plusieurs bits.
Tableaux des représentations possibles de n bits
Combien de représentations possibles de 1 bit? 21 = 2
Combien de représentations possibles de 2 bits? 22 = 4
Combien de représentations possibles de 3 bits? 23 = 8
b1 |
b2 |
b3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Combien de représentations possibles de 4 bits? 24 = 16
Chiffre H |
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
A |
1 |
0 |
1 |
0 |
B |
1 |
0 |
1 |
1 |
C |
1 |
1 |
0 |
0 |
D |
1 |
1 |
0 |
1 |
E |
1 |
1 |
1 |
0 |
F |
1 |
1 |
1 |
1 |
Le truc de la mort qui tue pour trouver toutes les représentations possibles
Par exemple, pour une représentation sur 4 bits, on commence à gauche et de haut en bas:
- On calcule d'abord le nombre de configurations possibles: 24 = 16
- Pour le bit le plus à gauche on écrit 8 fois 0 et 8 fois 1
- Pour le bit suivant, 4 fois 0 et 4 fois 1, et ensuite 4 fois 0 et 4 fois 1
- Pour le bit suivant on fait 4 fois: 2 fois 0 et 2 fois 1
- Pour le dernier bit on alterne 1 et 0
Combien de représentations possibles de 8 bits? 28 = 256
Combien de représentations possibles de 16 bits? 216 = 65.536
Combien de représentations possibles de 24 bits? 224 = 16.777.216
Combien de représentations possibles de 32 bits? 232 = 4.294.967.296
Représentation hexadécimale
Il suffit de convertir en b10 chaque séquence de 4 bits pour savoir le nombre hexadécimal correspondant.
Exemple:
(1100)2 : 1*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 = (12)10 = (C)16
Compte tenu que 4 chiffres binaires représentent exactement 1 chiffre hexadécimal on peut représenter 1 byte selon 2 chiffres hexadécimaux.
Exemple: une configuration de 24 bits (une couleur jpg par exemple)
Binaire: |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Hexadécimal: |
A |
9 |
F |
A |
A |
5 |
Décimal: |
169 |
250 |
165 |
|
Rouge |
Vert |
Bleu |
|
|
Le système octal (base 8)
Système de numération peu utilisé, il est composé de 8 chiffres.
Chiffres de la base: |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Exemple : 345 en base 8:
(345)8
Chiffre |
3 |
4 |
5 |
Position |
2 |
1 |
0 |
Reconstitution |
3 * 82 |
4 * 81 |
5 * 80 |
|
192 + 32 + 5 = (229)8 |