Informatique


Les bases de numération

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Définition


Le système décimal (base 10)

Système de numération le plus couramment utilisé, il est composé de 10 chiffres.

Chiffres de la base: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Exemple : 3.345 en base 10:
(3.345)10 , nous constatons que le chiffre 3 se répète deux fois dans ce nombre, le premier représente 300 et le second 3000, celui-ci a donc un poids différent en fonction de sa position dans le nombre.

Chiffre 3 3 4 5
Position 3 2 1 0
Reconstitution 3 * 103 3 * 102 4 * 101 5 * 100
  3000 + 300 + 40 + 5 = (3.345)10


Le système binaire (base 2)

Système de numération couramment utilisé en informatique, il est composé de 2 chiffres.

Chiffres de la base: 0 1

Exemple : 11001 en base 2: (11001)2

Chiffre 1 1 0 0 1
Position 4 3 2 1 0
Reconstitution 1 * 24 1 * 23 0 * 22 0 * 21 1 * 20
  16 + 8 + 0 + 0 + 1 = (25)10


Le système hexadécimal (base 16)

Système de numération le plus couramment utilisé en informatique, il est composé de 16 chiffres.

Chiffres de la base: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Exemple : B7F en base 16:
(B7F)16

Chiffre B 7 F
Position 2 1 0
Reconstitution 11 * 162 7 * 161 15 * 160
  2816 + 112 + 15 = (2943)10


Représentations possibles en fonction du nombre de bits

Le bit a deux états possibles, 0 ou 1.
Un bit peut donc représenter 2 choses différentes, ce n'est pas beaucoup...
Dès lors on va travailler sur des configurations de plusieurs bits.

Combien de représentations possibles de 1 bit? 21 = 2

b
0
1

Combien de représentations possibles de 2 bits? 22 = 4

b1 b2
0 0
0 1
1 0
1 1

Combien de représentations possibles de 3 bits? 23 = 8

b1 b2 b3
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1

Combien de représentations possibles de 4 bits? 24 = 16

Chiffre H b1 b2 b3 b4
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
A 1 0 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 0
D 1 1 0 1
E 1 1 1 0
F 1 1 1 1

Combien de représentations possibles de 8 bits? 28 = 256

Combien de représentations possibles de 16 bits? 216 = 65.536

Combien de représentations possibles de 24 bits? 224 = 16.777.216

Combien de représentations possibles de 32 bits? 232 = 4.294.967.296

Il suffit de convertir en b10 chaque séquence de 4 bits pour savoir le nombre hexadécimal correspondant.

Exemple:
(1100)2 : 1*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 = (12)10 = (C)16

Compte tenu que 4 chiffres binaires représentent exactement 1 chiffre hexadécimal on peut représenter 1 byte selon 2 chiffres hexadécimaux.

Exemple: une configuration de 24 bits (une couleur jpg par exemple)

1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1

A

9

F

A

A

5

Rouge

Vert

Bleu
 

Le système octal (base 8)

Système de numération peu utilisé, il est composé de 8 chiffres.

Chiffres de la base: 0 1 2 3 4 5 6 7

Exemple : 345 en base 8:
(345)8

Chiffre 3 4 5
Position 2 1 0
Reconstitution 3 * 82 4 * 81 5 * 80
  192 + 32 + 5 = (229)8